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Topología aplicada · Tema 02

Homología simplicial

De la combinatoria de un complejo simplicial a sus agujeros algebraicos: cadenas, ciclos, fronteras y números de Betti.

Cadenas y el operador frontera
Ciclos, fronteras y homología
Invariancia y matrices de frontera
Ejemplos: triángulo, tetraedro, toro

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Hoja de ruta

De la estructura combinatoria a los invariantes algebraicos

complejo
simplicial

linealizar

cadenas
$C_p(K)$

$\partial_p$

ciclos $Z_p$
fronteras $B_p$

cociente

homología
$H_p=Z_p/B_p$

Objetivo del capítulo

Convertir la estructura combinatoria de $K$ en invariantes algebraicos que cuenten agujeros: componentes conexas ($p=0$), túneles ($p=1$), cavidades ($p=2$), …

Resultados de aprendizaje

Al terminar, debemos poder responder cuatro preguntas

¿Qué es una $p$-cadena y qué hace el operador frontera $\partial_p$?
¿Por qué toda frontera es un ciclo, es decir, por qué $\partial^2=0$?
¿Cómo se define $H_p(K)$ y qué significa que dos ciclos sean homólogos?
¿Cómo se calculan los números de Betti mediante matrices de frontera?

Hilo conductor: un agujero es un ciclo que no es frontera; trabajaremos siempre sobre $\Z_2$.

01

Sección primera

De la combinatoria al álgebra lineal

Cadenas, el operador frontera y por qué trabajamos sobre $\Z_2$.

De la combinatoria al álgebra lineal

Una $p$-cadena es una suma formal de $p$-símplices

Definición ($p$-cadena)

Sea $K$ un complejo simplicial y $R$ un anillo, con $m_p$ el número de $p$-símplices de $K$. Una $p$-cadena es \[ c=\sum_{i=1}^{m_p}\alpha_i\sigma_i, \qquad \alpha_i\in R,\ \sigma_i\ p\text{-símplice de } K. \]

$C_p(K)$ denota el conjunto de todas las $p$-cadenas.
Suma y producto por escalar se definen componente a componente.

De la combinatoria al álgebra lineal

$C_p(K)$ es un módulo libre con base los $p$-símplices

Proposición

Con estas operaciones, $C_p(K)$ es un $R$-módulo libre cuya base son los $p$-símplices de $K$; en particular, $(C_p(K),+)$ es un grupo abeliano.

Esquema de la demostración

Las operaciones son componente a componente: las propiedades de módulo se heredan de $R$.
Los $p$-símplices generan $C_p(K)$ por definición.
La expresión de una cadena como suma formal es única, luego son linealmente independientes.

De la combinatoria al álgebra lineal

Trabajaremos sobre $\Z_2$: una cadena es un conjunto de símplices

Fijamos $R=\Z_2$: cada $C_p(K)$ es un espacio vectorial.
Los únicos coeficientes son $0$ y $1$: una cadena se identifica con el conjunto de símplices con coeficiente $1$.
La suma de cadenas es la diferencia simétrica de conjuntos; en particular $c+c=0$.

Ventaja

Se evitan orientaciones y signos, y toda la aritmética se reduce a álgebra lineal binaria.

De la combinatoria al álgebra lineal

El operador frontera suma las facetas de un símplice

Definición (operador frontera)

Para $\sigma=\{v_0,\ldots,v_p\}$, \[ \partial_p(\sigma):=\sum_{i=0}^{p}\{v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots,v_p\}\in C_{p-1}(K), \] extendido linealmente a $\partial_p:C_p(K)\to C_{p-1}(K)$. Convenimos $\partial_0=0$ y $\partial_{k+1}=0$.

$\partial_1(ab)=a+b$ · $\partial_2(abc)=ab+ac+bc$ · $\partial_3(abcd)=abc+abd+acd+bcd$

De la combinatoria al álgebra lineal

Ejemplo: la arista compartida se cancela módulo 2

Ejemplo

Para $c=abc+bcd$: \[ \partial_2(c)=(ab+bc+ac)+(bc+cd+bd)=ab+ac+cd+bd, \] porque $bc$ aparece dos veces. Y de nuevo: \[ \partial_1(\partial_2(c))=(a+b)+(a+c)+(c+d)+(b+d)=0. \]

Lectura

Una arista está en la frontera de una cadena de triángulos exactamente si pertenece a un número impar de ellos.

De la combinatoria al álgebra lineal

Lema: la frontera de una frontera siempre es cero

\[ (\partial_{p-1}\circ\partial_p)(c)=0 \quad\text{para toda } p\text{-cadena } c. \]

Esquema de la demostración

Para $p=1$ es inmediato: $\partial_0=0$.
Para $p\ge2$, basta probarlo en un símplice $\sigma=\{v_0,\ldots,v_p\}$: cada cara de codimensión $2$, $\sigma_{\hat\imath\hat\jmath}$, aparece exactamente dos veces en $\partial_{p-1}(\partial_p(\sigma))$ (al quitar primero $v_i$ y luego $v_j$, o al revés).
En $\Z_2$, $2\,\sigma_{\hat\imath\hat\jmath}=0$; por linealidad, el resultado se extiende a toda cadena.

De la combinatoria al álgebra lineal

Los operadores frontera forman un complejo de cadenas

\[ 0 \xrightarrow{\ \partial_{k+1}\ } C_k \xrightarrow{\ \partial_k\ } C_{k-1} \xrightarrow{\ \partial_{k-1}\ } \cdots \xrightarrow{\ \partial_1\ } C_0 \xrightarrow{\ \partial_0\ } 0 \]

Consecuencia

La identidad $\partial^2=0$ es exactamente la condición que define un complejo de cadenas; las nociones de homología que siguen se aplican a cualquier secuencia de este tipo.

Ciclos, fronteras y homología

Ciclos y fronteras son subespacios de $C_p(K)$

Definiciones

$c$ es un $p$-ciclo si $\partial_p(c)=0$. $Z_p(K):=\ker\partial_p$.
$c$ es una $p$-frontera si $c=\partial_{p+1}(a)$ para algún $a\in C_{p+1}(K)$. $B_p(K):=\operatorname{im}\partial_{p+1}$.

Como $\partial_p\circ\partial_{p+1}=0$:

\[ B_p(K)\subseteq Z_p(K)\subseteq C_p(K). \]

Casos particulares: $Z_0(K)=C_0(K)$ y $B_k(K)=0$ (con $k=\dim K$).

Ciclos, fronteras y homología

Ejemplo: un ciclo que no es frontera

Ejemplo

Sea $K=\{a,b,c,ab,bc,ac\}$ (el borde de un triángulo, sin $abc$). La cadena $z=ab+bc+ac$ es un $1$-ciclo: \[ \partial_1(z)=(a+b)+(b+c)+(a+c)=0. \] Pero $C_2(K)=0$, luego $B_1(K)=0$: $z$ no es frontera.

Lectura

El ciclo no nulo $z$ representa el agujero delimitado por las tres aristas.

Ciclos, fronteras y homología

$H_p(K)$ identifica ciclos que difieren en una frontera

Definición

\[ H_p(K):=\frac{Z_p(K)}{B_p(K)}. \]

Un elemento de $H_p(K)$ es una clase de homología $[c]:=c+B_p(K)$.
$c$ y $c'$ son homólogos, $[c]=[c']$, cuando $c+c'\in B_p(K)$.
$H_0(K)=C_0(K)/B_0(K)$ (pues $\partial_0=0$); $H_k(K)\cong Z_k(K)$ (pues $B_k(K)=0$).

Ciclos, fronteras y homología

Dos ciclos son homólogos si su diferencia rellena una región

Lectura

Los ciclos negro y dorado son distintos como cadenas, pero su diferencia es la frontera de la 2-cadena sombreada: son homólogos.

Ciclos, fronteras y homología

Los números de Betti cuentan agujeros de cada dimensión

Definición (número de Betti)

\[ \beta_p:=\dim H_p=\dim Z_p-\dim B_p. \]

$H_p$ es un espacio vectorial sobre $\Z_2$ (y, por tanto, un grupo abeliano).
Con la suma de clases, podemos «sumar agujeros»; $\beta_p$ es la dimensión de ese espacio.

Ciclos, fronteras y homología

Proposición: $\beta_0$ cuenta las componentes conexas

\[ \beta_0=\dim H_0(K)=\#\{\text{componentes conexas de } |K|\}. \]

Esquema de la demostración

$v\sim w$ si existe un camino de aristas entre ellos; sus clases son las $c_0$ componentes.
Si $v\sim w$, entonces $v+w\in B_0(K)$ (sumando las fronteras de las aristas del camino).
Se define $\Phi:C_0(K)\to\Z_2^{c_0}$, $\Phi(v)=e_j$ si $v\in C_j$; se prueba $\ker\Phi=B_0(K)$.
Por el primer teorema de isomorfía, $H_0(K)=C_0(K)/B_0(K)\cong\Z_2^{c_0}$.

02

Sección segunda

Invarianza y cómputo matricial

La homología no depende de la triangulación elegida, y se calcula con matrices de frontera sobre $\Z_2$.

Invarianza y cómputo matricial

Proposición: la homología es un invariante topológico

Si $|K|\cong|L|$ (homeomorfos), entonces $H_p(K)\cong H_p(L)$ para todo $p\ge0$.

Esquema de la demostración

Una aplicación simplicial $f:K\to L$ induce $f_\#:C_p(K)\to C_p(L)$ con $\partial f_\#=f_\#\partial$, luego un homomorfismo $f_*:H_p(K)\to H_p(L)$.
Aplicaciones simpliciales contiguas inducen el mismo $f_*$.
Por aproximación simplicial, un homeomorfismo se aproxima por $\varphi:K'\to L'$, $\psi:L'\to K'$ (subdivisiones baricéntricas) con $\psi\varphi\sim\mathrm{id}_{K'}$, $\varphi\psi\sim\mathrm{id}_{L'}$ (contiguas).
La homología no cambia al subdividir, luego $H_p(K)\cong H_p(K')\cong H_p(L')\cong H_p(L)$.

Invarianza y cómputo matricial

$\chi(K)$ puede calcularse contando símplices o sumando $\beta_p$

Definición

\[ \chi(K)=\sum_{p=0}^{k}(-1)^p m_p=m_0-m_1+m_2-\cdots \]

Esquema del cálculo

Por rango-nulidad, $m_p=\dim Z_p+\dim B_{p-1}$; reagrupando la suma alternada, \[ \chi(K)=(\dim Z_0-\dim B_0)-(\dim Z_1-\dim B_1)+\cdots \]

\[ \chi(K)=\beta_0-\beta_1+\beta_2-\cdots \]

Como los $\beta_p$ son invariantes topológicos, también lo es $\chi(K)$.

Invarianza y cómputo matricial

El operador frontera se representa por una matriz binaria

Ordenados los $p$-símplices $\sigma_1^p,\ldots,\sigma_{m_p}^p$ y los $(p-1)$-símplices, $\partial_p$ se representa por $D_p\in\Z_2^{m_{p-1}\times m_p}$:

\[ (D_p)_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{si } \sigma_i^{p-1} \text{ es faceta de } \sigma_j^p, \\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Consistencia

$D_pD_{p+1}=0$ (versión matricial de $\partial^2=0$), luego $\operatorname{im}D_{p+1}\subseteq\ker D_p$.

Invarianza y cómputo matricial

Fórmula fundamental para los números de Betti

Como $Z_p=\ker D_p$ y $B_p=\operatorname{im}D_{p+1}$:

\[ \beta_p=\dim\ker D_p-\rango D_{p+1}. \]

Y por rango-nulidad, $m_p=\dim\ker D_p+\rango D_p$. Combinando ambas:

\[ \boxed{\ \beta_p=m_p-\rango D_p-\rango D_{p+1}\ } \]

Invarianza y cómputo matricial

Procedimiento de cálculo para un complejo finito

Enumerar y ordenar los símplices de cada dimensión.
Construir las matrices $D_p$ (cada columna es la frontera del símplice).
Reducir por Gauss sobre $\Z_2$ para obtener los rangos.
Calcular $\beta_p=m_p-\rango D_p-\rango D_{p+1}$.
Para generadores: hallar una base de $\ker D_p$, extender una base de $\operatorname{im}D_{p+1}$; los vectores añadidos representan clases de $H_p$.

Invarianza y cómputo matricial

Ejemplo: el borde de un triángulo tiene un lazo

Para $K=\{a,b,c,ab,bc,ac\}$, con bases $(a,b,c)$ y $(ab,bc,ac)$:

\[ D_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \rango D_1=2, \qquad D_2=0. \] \[ \beta_0=3-0-2=1, \qquad \beta_1=3-2-0=1. \]

$\ker D_1=\operatorname{span}\{(1,1,1)^T\}$ corresponde al ciclo $ab+bc+ac$, que genera $H_1(K)$.

Invarianza y cómputo matricial

Rellenar el triángulo mata la clase de $H_1$

Al añadir $abc$:

\[ D_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \rango D_2=1, \qquad \beta_1=3-2-1=0. \]

El ciclo $ab+bc+ac$ sigue existiendo, pero ahora es frontera: $ab+bc+ac=\partial_2(abc)$.

Invarianza y cómputo matricial

La esfera como frontera de un tetraedro

Sea $K(\tau)$ el complejo formado por todas las caras propias del tetraedro $\tau=abcd$: $|K(\tau)|\cong\mathbb S^2$. Con $m_0=4,\ m_1=6,\ m_2=4$:

\[ D_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \rango D_1=3. \]

Invarianza y cómputo matricial

Números de Betti del tetraedro hueco

\[ D_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \rango D_2=3, \qquad D_3=0. \] \[ \beta_0=4-0-3=1, \qquad \beta_1=6-3-3=0, \qquad \beta_2=4-3-0=1. \]

Generador de $H_2$

$\ker D_2=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)^T\}$: el ciclo $abc+abd+acd+bcd$ genera $H_2(K)$. Y $\chi(K)=4-6+4=2$, como para $\mathbb S^2$.

03

Sección tercera

Un toro simplicial

Una triangulación de nueve vértices, su matriz de frontera por bloques y sus generadores de homología.

Un toro simplicial

Un toro se triangula con solo nueve vértices

Construcción

El cuadrado fundamental $[0,3]\times[0,3]$, con los lados opuestos identificados como en $\mathbb T^2=\R^2/\Z^2$, se representa como una malla $3\times3$ de vértices $v_{ij}$, $i,j\in\Z_3$, y cada celda cuadrada se divide con una diagonal: la superficie resultante es una triangulación de $\mathbb T^2$.

El cuadrado fundamental con los lados opuestos identificados (misma letra, misma flecha) da un toro $\mathbb T^2$; la malla $3\times3$ con una diagonal por celda es su triangulación de nueve vértices.

Un toro simplicial

Enumeración de símplices y matriz $D_1$ por bloques

Vértices $v_{ij}$, $i,j\in\Z_3$; tres familias de aristas $a_{ij}=v_{ij}v_{i+1,j}$, $b_{ij}=v_{ij}v_{i,j+1}$, $d_{ij}=v_{ij}v_{i+1,j+1}$; $18$ triángulos $\tau_{ij}^{\pm}$.

\[ m_0=9, \qquad m_1=27, \qquad m_2=18, \qquad \chi(T)=9-27+18=0. \]

Con $P$ la matriz de desplazamiento cíclico y $R=I+P$:

\[ \begin{gathered} D_1=\bigl(M_a\ \ M_b\ \ M_d\bigr), \qquad M_a=\begin{pmatrix} R & 0 & 0 \\ 0 & R & 0 \\ 0 & 0 & R \end{pmatrix},\ \ldots \\ \rango D_1=8. \end{gathered} \]

Un toro simplicial

Matriz $D_2$ y números de Betti del toro

Con $S_i,S_j$ las permutaciones cíclicas en $i$ y en $j$:

\[ D_2=\begin{pmatrix} I_9 & S_j \\ S_i & I_9 \\ I_9 & I_9 \end{pmatrix}, \qquad \rango D_2=17. \] \[ \beta_0=9-0-8=1, \quad \beta_1=27-8-17=2, \quad \beta_2=18-17-0=1. \]

Generadores

$z=\sum_{i,j}(\tau_{ij}^{+}+\tau_{ij}^{-})$ genera $H_2(T)$; $\alpha=a_{00}+a_{10}+a_{20}$ (sección) y $\gamma=b_{00}+b_{01}+b_{02}$ (longitudinal) generan $H_1(T)$. Y $\chi(T)=1-2+1=0$.

Síntesis

La estructura conceptual del capítulo

cadenas $C_p(K)$ sobre $\Z_2$

frontera $\partial_p$ con $\partial^2=0$

ciclos $Z_p=\ker\partial_p$, fronteras $B_p=\operatorname{im}\partial_{p+1}$

$H_p=Z_p/B_p$, $\ \beta_p=\dim H_p$, $\ \chi=\sum(-1)^p\beta_p$

Autoevaluación

Preguntas para comprobar la comprensión

¿Por qué toda frontera es automáticamente un ciclo, y por qué el recíproco puede fallar?
¿Qué significa que dos ciclos sean homólogos, geométricamente?
¿Por qué $\beta_0$ coincide con el número de componentes conexas?
¿Por qué la homología no depende de la triangulación elegida?
En el toro de nueve vértices, ¿qué representan los generadores $\alpha$ y $\gamma$ de $H_1$?

Topología aplicada · Tema 02

Las cadenas linealizan la combinatoria.

Los ciclos que no son frontera son agujeros.

$H_p$ y los números de Betti convierten esa intuición en álgebra lineal computable.