Vectorización

Hoja de ruta

Del diagrama a un vector, sin perder la estabilidad

Resultados de aprendizaje

Al terminar, debemos poder responder cuatro preguntas

1. ¿Por qué hay que vectorizar los diagramas y qué se le pide a una vectorización?
2. ¿Cómo se construyen las curvas de Betti, los paisajes, las imágenes, los kernels y los resúmenes estadísticos?
3. ¿Respecto de qué distancia es estable cada una, con qué constante y por qué?
4. ¿Cómo se elige, se ajusta y se valida una representación en un problema real?

Hilo conductor: todas las demostraciones de estabilidad toman un emparejamiento parcial óptimo entre los dos diagramas y acotan la contribución de cada par y de cada punto libre.

Motivación

Los diagramas no son vectores

Media de Fréchet (mínimo de la suma de cuadrados de las distancias de Wasserstein): existe, pero sin fórmula y con un cálculo no convexo, con mínimos locales. Camino habitual: transformar cada diagrama en un vector y usar las herramientas de siempre.

Espacio de características

Vectorizar: llevar cada diagrama a un espacio normado

$\mathcal D$: diagramas (puntos $(b,d)$, $b<d$, admitiendo $d=+\infty$); $\mathcal D_0$: los que no tienen puntos esenciales. Se vectoriza cada dimensión $p$ por separado y se concatena.

Además: dominio común, capacidad discriminante, interpretabilidad y coste razonable, que compiten: cinco números no distinguen todos los diagramas; una imagen fina exige muchas coordenadas y parámetros.

Espacio de características

La estabilidad se compone con los teoremas del tema 4

La más valiosa, respecto de $d_B$: constante $1$, independiente del tamaño de los datos; las cotas de $d_{W,q}$ empeoran con el tamaño. Aun así, varias vectorizaciones útiles solo lo son respecto de $d_{W,1}$.

Espacio de características

Los puntos esenciales tienen persistencia infinita: tres reglas

Ejemplo: en Vietoris–Rips, $\Dgm_0$ de una nube no vacía tiene un único punto esencial, $(0,+\infty)$, que no aporta información sobre la nube.

Regla de trabajo: la misma regla para todos los datos, y documentada: el valor de $T$ modifica la representación.

Curvas de Betti

La curva de Betti cuenta las barras vivas en cada instante

• Escalonada y continua por la derecha: sube $1$ en cada nacimiento y baja $1$ en cada muerte.
• Si $D\in\mathcal D_0$, su integral es la persistencia total: ${\int_\R\beta_D(t)\,dt=\sum_{x\in D}\pers(x)=\Pers_1(D)}$.

Curvas de Betti

En una filtración, la curva es el número de Betti

Valores $a_0<\dots<a_n$: $K_t=K_i$ si $a_i\le t<a_{i+1}$ ($a_{n+1}=+\infty$) y $K_t=\varnothing$ si $t<a_0$.

Curvas de Betti

Ejemplo: la curva no recuerda qué nacimiento va con qué muerte

$D=\{(0,3),(1,2)\}$ y $E=\{(0,2),(1,3)\}$ son distintos: $d_B(D,E)=1$.

$\beta_D=\beta_E$: la aplicación $D\mapsto\beta_D$ no es inyectiva.

Curvas de Betti

Las curvas de Betti son estables en $L^1$ respecto de $d_{W,1}$

Curvas de Betti

No hay estabilidad respecto de la distancia bottleneck

• Con $\varepsilon$ fijo, las dos primeras crecen sin límite con $N$: ninguna cota en términos de $d_B$.
• Con $N=1$: la norma del supremo no está controlada ni siquiera por $d_{W,1}$. Un único rasgo efímero, a distancia $\varepsilon$ de la diagonal, cambia la curva en una unidad.

Curvas de Betti

Para obtener un vector: promediar en celdas, no muestrear

Partición común $t_0<\dots<t_m$. Muestreo: $\beta_D(t_j)$. Promedio: ${B_j(D)=\frac{1}{t_j-t_{j-1}}\int_{t_{j-1}}^{t_j}\beta_D(t)\,dt}$.

Comunes a toda la colección: intervalo, celdas y regla para las esenciales. Celdas anchas mezclan escalas; estrechas dan vectores largos, correlacionados y con $2/h$ grande.

Curvas de Betti

La curva de Euler: la suma alternada de las curvas de Betti

Paisajes de persistencia

Cada punto se sustituye por una función tienda

Paisajes de persistencia

El paisaje ordena las tiendas por capas

• $\lambda_1$ es la envolvente superior de las tiendas.
• Cada capa es no negativa, $1$-lipschitziana y se anula fuera de $[\min_i b_i,\ \max_i d_i]$.
• Si hay puntos esenciales, se aplica a $D_{\mathrm{fin}}$ o a un truncamiento.

Paisajes de persistencia

El paisaje es un objeto intrínseco del módulo de persistencia

Para $s\le t$, ${\beta_D^{s,t}=\#\{(b,d)\in D:\ b\le s\ \text{y}\ t<d\}}$. Si $D=\Dgm_p(\mathcal F)$, es el rango de $H_p(K_s)\to H_p(K_t)$.

Lectura: $\lambda_k(t)$ es el mayor radio $m$ tal que al menos $k$ clases independientes de $H_p(K_{t-m})$ sobreviven hasta $K_{t+m}$. Se define con los rangos del módulo, sin elegir ninguna base (definición original de Bubenik).

Paisajes de persistencia

Ejemplo: un paisaje con dos capas

Paisajes de persistencia

Los paisajes son estables respecto de $d_B$

• Clave: $|a_{(k)}-c_{(k)}|\le\max_i|a_i-c_i|$ para los $k$-ésimos mayores; un par mueve su tienda $\le\|x-y\|_\infty$ y un punto libre tiene tienda de altura $\le\tfrac12\pers(z)$.
• Discretización: $\Phi(D)=\bigl(\lambda_D(k,t_j)\bigr)_{k,j}\in\R^{Km}$ cumple ${\|\Phi(D)-\Phi(E)\|_\infty\le d_B(D,E)}$: aquí muestrear no destruye la estabilidad.

Paisajes de persistencia

Los paisajes viven en un espacio de Hilbert

Cada capa es continua con soporte compacto y solo un número finito es no nulo: $\lambda_D\in L^q(\N\times\R)$ para todo $1\le q\le\infty$. Para $q=2$, un espacio de Hilbert con

• Medias, varianzas, proyecciones y cualquier método lineal.
• Para $q<\infty$ hay cotas de estabilidad análogas, con hipótesis adicionales.

El paisaje determina el diagrama: $D\mapsto\lambda_D$ es inyectiva en $\mathcal D_0$. La pérdida práctica viene de conservar $K$ capas y muestrearlas en una malla.

Paisajes de persistencia

El paisaje medio de una muestra

• En general no es el paisaje de ningún diagrama: las capas de un paisaje tienen pendientes en $\{-1,0,1\}$, y la media de dos tiendas desplazadas tiene tramos de pendiente $\pm\tfrac12$.
• Bubenik: ley fuerte de los grandes números y teorema central del límite para el paisaje medio, que permiten construir intervalos de confianza y contrastes de hipótesis.

Imágenes de persistencia

Primero, coordenadas nacimiento–persistencia y un peso

$T(b,d)=(b,\,d-b)$ lleva la diagonal al eje horizontal y los puntos finitos al semiplano superior. $\phi_u(z)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\|z-u\|_2^2/(2\sigma^2)}$: gaussiana de media $u$, covarianza $\sigma^2I$ e integral $1$.

Ejemplo típico: $w_P(b,p)=\min\{p/P,\,1\}$, con umbral $P>0$: $L_{w_P}=1/P$ y $\|w_P\|_\infty=1$. La condición (i) hace que los puntos próximos a la diagonal pesen poco; es imprescindible para la estabilidad.

Imágenes de persistencia

Suavizar con gaussianas y después integrar por píxeles

Imágenes de persistencia

Ejemplo: la construcción, paso a paso

Masa total $\int\rho_D=\sum_{x\in D}w(Tx)$: muchos puntos junto a la diagonal dan una imagen casi nula; un punto persistente, una mancha intensa sobre varios píxeles.

Imágenes de persistencia

Las imágenes son estables respecto de $d_{W,1}$, con constante explícita

• Gaussianas: $\|\phi_u-\phi_v\|_{L^1}\le\sqrt{2/\pi}\;\|u-v\|_2/\sigma$.
• Coordenadas: $\|Tx-Ty\|_2\le\sqrt5\,\|x-y\|_\infty$, y $\sqrt5$ es óptima.
• Punto libre: $\|w(u)\phi_u\|_{L^1}=w(b,p)-w(b,0)\le L_w\,p$, gracias a $w(b,0)=0$.

Imágenes de persistencia

El teorema no puede mejorarse en lo esencial

Imágenes de persistencia

Cuatro elecciones: rectángulo, resolución, $\sigma$ y peso

Kernels

Un kernel es una vectorización en un Hilbert, sin escribirla

Vectores soporte, componentes principales con kernels, procesos gaussianos: solo usan productos escalares.

• Si $\Phi:\mathcal X\to H$, $\ k(x,y)=\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle$ es un kernel y $d_k(x,y)=\|\Phi(x)-\Phi(y)\|$ una pseudodistancia.
• Recíproco (Moore–Aronszajn): todo kernel es de esa forma. Si $\Phi$ es estable con constante $C$, $d_k\le C\,d$.
• Ya tenemos dos: $\langle\lambda_D,\lambda_E\rangle_{L^2}$ y $\langle I(D),I(E)\rangle$.

Kernels

La herramienta común: el núcleo del calor

$G_t(z)=\frac{1}{4\pi t}e^{-\|z\|_2^2/(4t)}$: gaussiana de covarianza $2t\,I$, solución de $\partial_tu=\Delta u$ con dato inicial una delta en $0$.

Consecuencia: con $\Gamma_\tau(x)=\sqrt{2\pi}\,\tau\,G_{\tau^2/4}(\cdot-x)$, de norma $1$, el kernel gaussiano del plano es semidefinido positivo: $\ k_\tau(x,y)=e^{-\|x-y\|_2^2/(2\tau^2)}=\langle\Gamma_\tau(x),\Gamma_\tau(y)\rangle$, y ${\|\Gamma_\tau(x)-\Gamma_\tau(y)\|^2=2-2k_\tau(x,y)\le\|x-y\|_2^2/\tau^2}$.

Kernels

Kernel gaussiano ponderado: una suma de gaussianas con pesos

Kusano, Fukumizu e Hiraoka. Peso $w$ acotado, lipschitziano ($L_w$) y nulo sobre la diagonal, que reduce la influencia de los puntos poco persistentes; habitual: ${w(x)=\arctan\bigl(c\,\pers(x)^r\bigr)}$. Con $\Psi(D)=\sum_{x\in D}w(x)\,\Gamma_\tau(x)$:

Kernels

Ejemplo: sin peso, un rasgo efímero cambia mucho la similitud

$D_1=\{(0,2)\}$; $D_2=D_1\cup\{(1;\,1{,}2)\}$ (rasgo efímero); $D_3=\{(0{,}5;\,2{,}5)\}$ (punto desplazado). Con $\tau=0{,}5$, kernel normalizado ${\widetilde K(D,E)=K(D,E)/\sqrt{K(D,D)K(E,E)}\in[0,1]}$ y $e=e^{-3{,}28}\approx0{,}0376$:

Con un solo punto el peso se cancela al normalizar. Con el peso, $D_2$ es casi indistinguible de $D_1$: lo que sugiere la estabilidad.

Kernels

Kernel de espacio de escala: una imagen especular con signo opuesto

Kernels

Fórmula cerrada y estabilidad respecto de $d_{W,1}$

Límite: ningún kernel aditivo no trivial ($\Phi(D\cup E)=\Phi(D)+\Phi(E)$) es estable respecto de $d_{W,q}$, $q>1$, ni de $d_B$; las imágenes y estos dos kernels lo son.

Kernels

No toda distancia da un kernel $e^{-d^2/(2\sigma^2)}$

Consecuencia: $e^{-d^2/(2\sigma^2)}$ es un kernel para todo $\sigma$ si y solo si $d$ se sumerge isométricamente en un Hilbert; las distancias entre diagramas, no.

Kernels

Ejemplo: el gaussiano de la distancia bottleneck no es un kernel

Kernels

Wasserstein en rodajas: proyectar sobre rectas y promediar

Kernels

Wasserstein en rodajas sí da un kernel

Las proyecciones del otro diagrama sobre $\Delta$ permiten emparejar un punto con la diagonal, como en $d_{W,1}$. En la recta, $W_1$ se calcula ordenando los átomos.

En la práctica: un número finito de direcciones; cada una cuesta ordenar $|D|+|E|$ números.

Resúmenes estadísticos

Cuatro listas y nueve estadísticos por lista

Para los puntos $x_i=(b_i,d_i)$ de $D\in\mathcal D_0$, con multiplicidad:

Uso: referencia rápida e interpretable; pierde la posición conjunta de los puntos.

Resúmenes estadísticos

Las persistencias totales y la máxima son estables

Normas $\ell^q$ y $\ell^\infty$ del vector de persistencias ($\pers_{\max}(\varnothing)=0$); $q$ decide cuánto dominan las barras largas.

Resúmenes estadísticos

La entropía persistente mide el reparto de la persistencia

Chintakunta, Gentimis, González-Díaz, Jiménez y Krim. Para $D\in\mathcal D_0$ no vacío, ${L=\Pers_1(D)}$ y $p_i=\ell_i/L$: una probabilidad sobre sus puntos.

Proposición: $0\le H(D)\le\log n$, con $H=0$ si y solo si $n=1$, y $H=\log n$ si y solo si las persistencias son iguales. La normalizada, en $[0,1]$, compara diagramas con distinto número de puntos.

Resúmenes estadísticos

Ejemplo: misma persistencia total, distinto reparto

Resúmenes estadísticos

Otros resúmenes no son estables

• Más robusto: contar los puntos de persistencia mayor que un umbral; no es continuo, pero la supervivencia lo controla desplazando el umbral.
• Atienza, González-Díaz y Soriano-Trigueros: cotas según $n$ y la mayor persistencia; variantes más estables.
• Entropía: se omiten las persistencias nulas; si $D=\varnothing$, $H=0$ y un indicador de vacío.

Síntesis

Solo los paisajes y la persistencia máxima heredan la estabilidad bottleneck

Las aditivas (Betti, imágenes, kernels de gaussianas) acumulan todos los puntos: solo son estables respecto de $d_{W,1}$, pero con peso nulo en la diagonal o promedios, los efímeros aportan poco.

La vectorización y sus parámetros forman parte del modelo y se validan como tal.

Síntesis

Un procedimiento de trabajo reproducible

1. Diagramas por dimensión, con una regla fija para los puntos esenciales.
2. Escala común: normalizar antes, o justificar una reescala posterior.
3. Elegir la representación y sus parámetros solo con el entrenamiento.
4. Aplicar los mismos parámetros a entrenamiento, validación y prueba.
5. Estandarizar las coordenadas si el método posterior es sensible a su escala.
6. Validar la predicción y la estabilidad ante perturbaciones de datos y parámetros.

Error frecuente (paso 3): fijar el rectángulo de una imagen o el intervalo de una curva a la vista de todos los datos filtra la información de prueba al modelo.

Síntesis

Ejemplo: la dimensión de una representación concatenada

Dimensiones homológicas $0$ y $1$; para cada una, la curva de Betti promediada en $100$ celdas, una imagen de $20\times20$ píxeles y los $38$ resúmenes:

independiente del número de puntos de los diagramas.

Autoevaluación

Preguntas para comprobar la comprensión

1. ¿Por qué la curva de Betti muestreada en nodos no es estable, y la promediada en celdas sí?
2. ¿Por qué los paisajes son estables respecto de $d_B$ y las imágenes de persistencia no?
3. ¿Qué ocurre con una imagen de persistencia si el peso no se anula sobre la diagonal?
4. ¿Por qué $e^{-d_B^2/(2\sigma^2)}$ no es un kernel semidefinido positivo, y por qué sí lo es $e^{-SW/(2\sigma^2)}$?
5. Dos diagramas tienen la misma persistencia total y la misma persistencia media. ¿Qué resumen puede distinguirlos?