Dos puntos forman una arista cuando su distancia es menor que ε.
Topología aplicada · Curso 2026/27
Laboratorios
Siete paneles que calculan de verdad, en tu navegador y en vivo: complejos simpliciales, triangulaciones de Delaunay, números de Betti, paisajes e imágenes de persistencia, retículos de persistencia y grafos de Mapper. Mueve un deslizador y la topología cambia con él.
Siete laboratorios
De una regla local a la forma de los datos.
Los siete comparten el mismo punto de partida —una nube de puntos y una noción de proximidad— y se separan en lo que hacen con ella. Todo el cálculo ocurre en la página: no hay imágenes precocinadas ni servidor detrás.
01 · EL PLANO
Vietoris–Rips
Aristas, caras y ciclos sobre una nube plana. β₀ y β₁ al ritmo del radio ε.
Abrir ↘ 02 · EL ESPACIOCavidades en R³
La misma construcción con tetraedros: aparece β₂, el hueco que ninguna proyección enseña.
Abrir ↘ 03 · LA GEOMETRÍADelaunay y complejos alpha
Voronoi reparte el plano, Delaunay lo triangula y el radio α recorre los subcomplejos. Pon tú los puntos.
Abrir ↘ 04 · LOS PAISAJESPaisajes de persistencia
Cada par (b, d) levanta una tienda y las tiendas se ordenan en capas λₖ: un diagrama hecho función, que se puede promediar.
Abrir ↘ 05 · LAS IMÁGENESImágenes de persistencia
Gaussianas sobre el diagrama girado e integradas por píxeles: un vector de tamaño fijo, listo para aprendizaje automático.
Abrir ↘ 06 · DOS PARÁMETROSPersistencia bi-paramétrica
Radio y codensidad a la vez. La ventana de persistencia deja de ser un intervalo y pasa a ser una región.
Abrir ↘ 07 · EL GRAFOMapper
Lente, cubierta y agrupamiento: la nube se resume en un grafo que conserva su forma.
Abrir ↘Laboratorio interactivo
Haz visible lo invisible.
Construye un complejo de Vietoris–Rips sobre una nube de puntos. Aumenta el radio y observa cómo nacen conexiones, ciclos y estructura topológica.
Una regla local revela la forma global.
Tres puntos forman una cara cuando todos distan entre sí menos que ε.
Laboratorio interactivo · R³
Ahora, con cavidades.
La misma construcción de Vietoris–Rips, pero sobre nubes en el espacio. Al crecer ε aparecen aristas, caras y celdas —los 3-símplices—, y con ellas β₂: los huecos que ninguna proyección plana deja ver.
De la regla local a la cavidad.
Cada par de puntos a distancia menor que ε aporta una arista; cada terna próxima entre sí, una cara.
Cuatro puntos próximos dos a dos cierran una celda, el 3-símplice. Es lo que permite que una cavidad acabe tapándose.
β₂ cuenta cavidades: la esfera tiene una, la bola sólida ninguna. Los rangos salen de las matrices de frontera sobre ℤ/2.
Laboratorio interactivo · Delaunay y alpha
El complejo que sí es la unión de bolas.
El complejo de Delaunay triangula la nube sin inventar nada, y dentro de él los complejos alpha crecen con el radio α. A diferencia de Rips, en cada α tienen exactamente el tipo de homotopía de la unión de bolas. Los puntos los pones tú: un clic añade, un clic encima quita.
Primero se reparte el plano; luego se deja crecer.
Cada punto p se queda con su celda de Voronoi: los puntos del plano que no tienen ningún otro dato más cerca. Las celdas cubren el plano y solo se tocan por sus bordes.
El complejo de Delaunay es el nervio de esa partición: un símplice por cada grupo de celdas con intersección no vacía. Sale una triangulación de la envolvente convexa en la que ningún triángulo tiene datos dentro de su circunferencia circunscrita.
Recorta cada bola B(p, α) con su celda y vuelve a tomar el nervio: el complejo alpha, un subcomplejo de Delaunay. Un símplice entra cuando α alcanza el punto de su celda común más cercano a sus vértices, y de ahí no sale.
Por el teorema del nervio, el complejo alpha es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas B(p, α), no una aproximación suya: a igual α da los β correctos con muchísimos menos símplices que Vietoris–Rips, que en el plano llega a rellenar tres puntos lejanos solo porque se tocan por parejas. Su tamaño es O(n) en el plano, frente a los 2ⁿ potenciales de Rips. El precio es la dimensión: Delaunay se calcula en ℝᵈ y explota con d, mientras que Rips solo necesita la matriz de distancias. En la rejilla se ve el caso degenerado: cuatro puntos cocirculares dejan de determinar una triangulación única, y el laboratorio deshace el empate con una perturbación simbólica por debajo de la resolución de la pantalla.
Laboratorio interactivo · paisajes
Cada barra, una tienda.
Un diagrama de persistencia no es un vector: no se puede sumar ni promediar. El paisaje de persistencia lo convierte en una sucesión de funciones λ₁ ≥ λ₂ ≥ … que sí viven en un espacio normado. Mueve los puntos y mira cómo cada par (b, d) levanta su tienda y cómo las tiendas se ordenan por capas.
Del par a la tienda, de las tiendas a las capas.
El complejo de Vietoris–Rips crece con ε. Cada clase de homología nace en una escala b y muere en otra d: el diagrama recoge los pares (b, d), y su persistencia es ℓ = d − b.
Cada par se sustituye por su función tienda f(b,d)(t) = máx(0, mín(t − b, d − t)): sube con pendiente 1 desde b, alcanza ℓ/2 en el punto medio y baja hasta d. Es el diagrama girado 45°.
La capa λₖ(t) es el k-ésimo mayor valor de las tiendas en t. Cada capa es lineal a trozos y 1-lipschitziana, λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ 0, y la sucesión entera vive en un espacio de Banach: se puede sumar, promediar y medir.
Los paisajes son estables respecto de la distancia bottleneck (Bubenik, 2015): ‖λₖ(D) − λₖ(D′)‖∞ ≤ dB(D, D′) para todo k. Con Fijar referencia se congela un paisaje y se mide la diferencia al perturbar la nube; con Paisaje medio, se promedian treinta muestras de la misma familia, algo imposible con diagramas. Sobre todas las capas, ‖λ‖₁ = Σℓ²/4 y ‖λ‖₂² = Σℓ³/12; las normas y distancias se integran de forma exacta en los puntos de quiebre, y solo el paisaje medio usa una rejilla. Son las diapositivas 17–27 del tema 5.
Laboratorio interactivo · imágenes
Un diagrama, una matriz.
La imagen de persistencia lleva el diagrama a un vector de tamaño fijo: gira los puntos a coordenadas nacimiento–persistencia, pone sobre cada uno una gaussiana pesada y la integra en una rejilla de píxeles. Cambia la resolución, el ancho σ y el peso, y mira qué sobrevive del diagrama.
Girar, suavizar, integrar.
Cada par (b, d) pasa a coordenadas nacimiento–persistencia (b, p), con p = d − b. La diagonal del diagrama se convierte en el eje p = 0, donde viven los rasgos efímeros.
Sobre cada punto se coloca una gaussiana de ancho σ multiplicada por un peso w(p). La suma es la superficie ρ(x, y) = Σ w(pₖ) φσ(x − bₖ, y − pₖ).
Se integra ρ sobre cada píxel de una rejilla r × r del cuadrado [0, L]². La integral es exacta: la gaussiana es producto de dos factores y cada uno se evalúa con la función de error. Sale un vector de r² números.
Las imágenes son estables respecto de la distancia de Wasserstein de orden 1: ‖I(D) − I(E)‖₁ ≤ Cw,σ dW,1(D, E), con una constante que crece como 1/σ. La hipótesis esencial es que el peso se anule en la diagonal: con el peso constante un rasgo efímero aporta la misma masa que uno persistente, y el ruido llena la imagen. Por ser aditivas, no hay estabilidad respecto de dB. Aquí L es la mayor muerte finita de la dimensión elegida y el peso se normaliza con la mayor persistencia del diagrama; la clase esencial de H₀ queda fuera. Son las diapositivas 28–35 del tema 5.
Laboratorio interactivo · dos parámetros
Un parámetro no basta.
Con ruido de fondo ningún radio funciona: cuando ε es bastante grande para cerrar el círculo, los puntos dispersos ya lo han rellenado. Añade un segundo eje —la codensidad— y la ventana deja de ser un intervalo para ser una región del plano.
Dos ejes, un retículo, una recta.
A cada punto se le asigna su codensidad γ(x): la distancia a su k-ésimo vecino más próximo. Grande donde la nube es rala, pequeña donde está apretada. El primer eje conserva solo los puntos con γ(x) ≤ γ.
Cada bigrado (γ, ε) tiene su complejo, y crecer en cualquiera de los dos ejes solo añade símplices. El panel calcula β en toda la malla: donde antes había un intervalo de persistencia ahora hay una región.
Una recta de pendiente no negativa atraviesa el retículo y devuelve una filtración de siempre, con su código de barras. Vertical es el Rips clásico. Inclínala y la barra del ciclo se alarga: eso es lo que el segundo eje añade.
En dos parámetros no hay código de barras: un módulo bi-paramétrico no se descompone en intervalos y ningún invariante discreto completo lo clasifica (Carlsson–Zomorodian, 2009). Lo que sí se calcula es la función de Hilbert —el sombreado del retículo— y el código de barras fibrado, la familia de todos los cortes por rectas. Es la idea de RIVET, aquí en pequeño.
Laboratorio interactivo · Mapper
Tres números deciden lo que verás.
Mapper resume una nube en un grafo: una lente, una cubierta con solapamiento y un radio de agrupamiento. Los tres los eliges tú, y la forma que sale depende de ellos tanto como de los datos. Aquí se ve exactamente dónde se rompe.
De la nube al grafo, en tres pasos.
Una lente f: X → ℝ resume cada punto en un número. Su recorrido se cubre con N intervalos que se solapan: ese solapamiento es lo único que después une unos nodos con otros.
Dentro de la preimagen de cada intervalo se toman las componentes conexas del grafo de distancia menor que δ. Cada una es un nodo, y su tamaño en pantalla, el número de puntos que contiene.
Dos nodos se unen si comparten algún punto. Queda un grafo con β₀ componentes y β₁ = E − V + C ciclos. Cambia N, el solapamiento o δ y esos dos números cambian con ellos.